月份: 2020 年 12 月

(好,壞);(水,火);(快,慢);(高,矮);(肥,廋)

已知\( a,b,c \)是不全相等的正數，求証﹕\( a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc \).

証明﹕

因為 \( b^2+c^2 \geq 2bc, a>0\)

則\( a(b^2+c^2)\geq 2abc\)——–(1)

同理可証

\(b(c^2+a^2)\geq 2abc\)——–(2)

\(c(a^2+b^2)\geq 2abc\)——–(3)

因為\( a,b,c \)是不全相等的正數，故(1)(2)(3)中至少有式不能取 “=”號

(1)+(2)+(3)得

\( a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc \).

#綜合法