例(1)

例(1). 已知 $x,y,z$ 為正數，求証﹕$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2.$

証﹕由均值不等式得 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2$

故原不等式成立。

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例(2). 已知 $x,y,z$ 為正數，求証﹕$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\geq 3.$

証﹕由均值不等式得 $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3$

故原不等式成立。

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