求最大值(例2)

已知 $x,y,z\in \mathbb{R}^+$，且$x+4y+3z=6$，求$x^2yz^3$的最大值。

解﹕$\because x+4y+3z$

$=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+4y+z+z+z$

$\geq 6\sqrt[6]{\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot 4y\cdot z\cdot z\cdot z}=6\sqrt[6]{x^2 y z^3}$

$\therefore x+4y+3z\geq 6\sqrt[6]{x^2 y z^3}$

$\therefore 6\geq 6\sqrt[6]{x^2 y z^3}$

$\therefore x^2 y z^3\leq 1$

當且僅當 $\frac{x}{2}=4y=z=1$，即$x=2,y=\frac{1}{4},z=1$時，$x^2 y z^3$ 的最大值是 1